Introduction aux EDP et à la méthode des différences finies
Ce cours est centré sur la méthode des différences finies pour l'approximation des équations aux dérivées partielles de la physique (elliptiques, paraboliques et hyperboliques). C'est cette dernière classe d'équations qui fait l'objet de ce cours. Nous abordons les problèmes linéaires et non linéaires. L'objectif est alors de
- Introduire, sur des exemples modèles relativement simples, quelques propriétés essentielles des solutions de ces équations;
- Donner les bases de la méthode des différences finies, introduire les notions de schémas explicite et implicite, apprendre les notions de consistance, stabilité et convergence d'un schéma
- Sensibiliser les élèves aux notions de dispersion et dissipation numérique;
Les deux autres catégories d'équations seront abordés dans deux cours de deuxième année sur la méthode des éléments finis.
-
Séance 1 -
Equations hyperboliques linéaires
- Motivations
- Equation de transport 1D à coefficients constants.
- Méthode des caractéristiques
- Systèmes hyperboliques à coefficients constants.
Transparents de l’amphi 1(2024)
Enoncé du TD1
-
Séance 2 -
Equation de transport avec vitesse variable et équations non linéaires
- Equation de transport 1D à coefficients variables (Méthode des caractéristiques)
- Propriétés qualitatives des solutions.
- Lois de conservation scalaire
- Solution classique et temps d’existence (Méthode des caractéristiques)
- Notion de solution faible
- Relation de Rankine Hugoniot
Transparents de l’amphi 2 (2024)
Énoncé du TD2 (2024)
-
Séance 3 - Problèmes hyperboliques non linéaires
- Non unicité des solutions faibles
- Notion de solution faible entropique
- Théorème d’existence et d’unicité
- Propriété de monotonie
- Problème de Riemann à 2 états dans les cas f convexe
Transparents de l’Amphi 3 (2024)
Enoncé du TD3 (2024)
-
Séance 4 -
Introduction aux différences finies et applications aux équations hyperboliques linéaires
- Généralités sur le calcul numérique
- Principe des différences finies
- Construction du schéma centré pour l’équation d’advection
- Ordre/Erreur de troncature
- Définition de la stabilité L^2 et analyse par la méthode de Fourier Von Neumann
Transparents de l’Amphi 4 (2024)
Enoncé du TD4 (2024)
-
Séance 5 -
Introduction aux différences finies et applications aux équations hyperboliques linéaires
- Construction du schéma de Lax Friedrichs
- Définition de la convergence
- Convergence du schéma de Lax Friedrichs et Théorème de Lax
- Schémas à 2 pas de temps
- Schémas implicites
Transparents de l’Amphi 5 (2024)
Enoncé du TD5 (2024)
-
Séance 6 -
Disspation et dispersion Numérique - Schémas numériques pour les problèmes
hyperboliques non linéaires
- Dissipation et dispersion numérique
- Notion de schéma à 3 points, schéma conservatif, schéma entropique, schéma monotone
- Un exemple fondamental : le schéma de Godunov
Transparents de l’Amphi 6 (2024)
Enoncé du TD6 (2024)