Ce cours présente les fondements mathématiques, ainsi que les aspects pratiques, de la méthode des éléments finis, qui permet notamment de résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP) issues de la physique, de la mécanique, de la finance, et de bien d'autres domaines.
Dans sa partie la plus fondamentale, nous commencerons par positionner brièvement la méthode des éléments finis par rapport à d'autres méthodes numériques, avant d'aborder la classification des EDP (elliptique, parabolique, hyperbolique). Dans la suite, nous nous concentrerons sur la discrétisation des EDP elliptiques. Nous développerons les outils théoriques permettant de résoudre ces EDP, avec en particulier la théorie variationnelle. Nous passerons ensuite à la discrétisation de ces EDP à l'aide de la méthode dite de Galerkin, qui englobe notamment la méthode des éléments finis (l'analyse de convergence sera réalisée à cette occasion).
Dans la partie la plus concrète du cours, nous proposerons une présentation algorithmique de la méthode des éléments finis, intimement liée à son l'implémentation sur ordinateur. La mise en oeuvre informatique sera expérimentée lors de plusieurs séances de TP, réalisées en Matlab. L'accent sera mis sur la résolution numérique de problèmes "tests".
Séance 1 Présentation générale et outils mathématiques
Transparents de l’Amphi 1 (2023)
Séance 2 Formulations variationnelles
Transparents de l’Amphi 2 (2023)
Séance 3 Résolution des formulations variationnelles
Transparents de l’Amphi 3 (2023)
Séance 4 Méthodes de Galerkin et méthode des éléments finis
Transparents de l’Amphi 4 (2023)
Conseils pour rédiger un compte rendu de TP
Séance 5 Méthodes des éléments finis de Lagrange et algorithmes
Transparents de l’Amphi 5 (2023)
Séance 6 Convergence de la méthode des éléments finis
Transparents de l’Amphi 6 (2022)
5 Sujets de TPs: Résolution numérique de l'équation de Helmholtz, de l'équation des ondes, des équations de Stokes, de l'équation de la chaleur et Estimation a posteriori pour les équations elliptiques.
Séance 7 Quelques extensions + Examen
Transparents de l’Amphi 7 (2021)
