Sonia Fliss

Homogénéisation périodique

Ce cours est consacré à l'introduction de l'homogénéisation des matériaux ayant une micro- structure périodique. Lorsque la période de la microstructure est faible par rapport à la taille du matériau (par exemple, dans des mousses, des matériaux composites, etc.), la question est de savoir si on peut trouver un modèle effectif qui rend compte du comportement macroscopique de ce matériau.

Nous nous concentrons dans le cours sur des modèles qui sont donnés par une équation aux dérivées partielles (EDP) avec des coefficients périodiques. D'un point de vue mathématique, les équations et leur solution sont paramètrées par la période et le problème est d'étudier la limite, si elle existe, de la famille de solutions, quand la période tend vers 0. Est ce que cette limite est solution d'une EDP limite? Est ce que cette EDP limite est du même type que l'EDP de départ? Dans ce cas, les coefficients apparaissant dans l'EDP limite caractérisent alors le milieu effectif.

Parmi les méthodes théoriques classiques utilisées pour étudier ce genre de problèmes, nous nous concentrons sur la méthode de développement multi-échelle et la convergence double-échelle. Ces deux méthodes donnent des résultats de différentes saveurs, heuristique ou rigoureuse, et arrivent à être très complémentaires.

En effet, la méthode de développement multiéchelle fonctionne en postulant un ansatz pour la solution : celle-ci se développerait comme une série où chacun des termes sont recherchés les uns après les autres. L'existence d 'un tel développement est possible sous certaines hypothèses sur les coefficients.

D'autre part, la théorie de la convergence double-échelle de N'Guetseng et Allaire permet une approche complète et rigoureuse, sous des hypothèse beaucoup moins restrictives.

Nous prévoyons également de fournir aux étudiants quelques éléments sur la Gamma convergence qui sont liés au sujet.

En plus de cette étude théorique, nous étudierons les aspects numériques de la méthode : l'analyse numérique d'une part de méthodes d'homogénéisation numérique et la mise en pratique de ces méthodes. Des séances de travaux pratiques sont prévues.

Professeurs chargés de ce cours : Francois Alouges et Sonia Fliss



Programmation du cours


Les cours ont lieu à l’ENSTA Paris, salle 1315 (sauf le 6/11 en 1218) ( les informations pour s’y rendre sont ici)