Les milieux périodiques apparaissent dans un grand nombre d’applications (matériaux composites ou à fibres en mécanique et les cristaux photoniques en micro- et nano-technologies). Ces milieux périodiques présentent des propriétés très intéressantes. Par exemple, en optique, dans les cristaux photoniques qui sont appelés également des matériaux à bandes interdites de photons, des ondes électromagnétiques monochromatiques à certaines fréquences ne peuvent pas se propager dans de tels milieux. Il existe même des intervalles entiers de fréquences dites interdites. Ces milieux peuvent ainsi être utilisés par exemple dans la réalisation de filtres ou d’antennes. On s’intéresse dans ce cours aux phénomènes de propagation d’ondes dans des milieux périodiques. Ces problèmes nécessitent des outils mathématiques un peu plus sophistiqués que dans le cas des milieux homogènes mais on pourra mener une analyse assez poussée qui exploite au mieux la structure périodique des milieux.
On étudiera essentiellement des milieux 1D pour lesquels les outils et les idées peuvent être exposés simplement.
Professeurs chargés de ce cours
Sonia Fliss
Patrick Joly
Contenu du cours
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-Transformation de Floquet Bloch
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-Rappels de théorie spectrale et Etude du spectre des opérateurs réduits
- Structures en bandes des opérateurs symétriques du second ordre à coefficients périodiques
Propriétés des bandes spectrales
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-Equation de Helmholtz 1D
Représentation de la solution de l'équation de Helmholtz via les ondes de Bloch et le principe d'absorption limite
Condition de radiation et unicité de la solution sortante
- Equation de Helmholtz 1D
Caractérisation de la solution via la méthode de Dirichlet-to-Neumann
Application à la résolution numérique
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-Homogénéisation de l'équation de Helmholtz en milieu périodique - Approche par ondes de Bloch
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-Equation des ondes 1D
Représentation de la solution dans un milieu périodique
Lien entre les régimes temporel et harmonique : Principe d'amplitude limite
Examen des années précédentes
