Ce cours est consacré à l'introduction des concepts de base de l'homogénéisation des matériaux ayant une micro- structure périodique. Lorsque la période de la microstructure est faible par rapport à la taille du matériau (par exemple, dans des mousses, des matériaux composites, etc.), la question est de savoir si on peut trouver un modèle effectif qui rend compte du comportement macroscopique de ce matériau.
Nous nous concentrons dans le cours sur les modèles qui sont donnés par une équation aux dérivées partielles (EDP) avec des coefficients périodiques. D'un point de vue mathématique, les équations et leur solution sont paramètrées par la période et le problème est d'étudier la limite, si elle existe, de la famille de solutions, quand la période tend vers 0. Est ce que cette limite est solution d'une EDP limite? Dans ce cas, les coefficients caractérisent alors le milieu effectif.
Parmi les méthodes théoriques classiques utilisées pour étudier ce genre de problèmes, nous nous concentrons sur la méthode de développement multi-échelle et la convergence double-échelle. Ces deux méthodes donnent des résultats de différentes saveurs, heuristique ou rigoureuse, et arrivent à être très complémentaires.
En effet, la méthode de développement multiéchelle fonctionne en postulant un ansatz pour la solution : celle-ci se développerait comme une série où chacun des termes sont recherchés les uns après les autres. L'existence d 'un tel développement est possible sous certaines hypothèses sur les coefficients.
D'autre part, la théorie de la convergence double-échelle de N'Guetseng et Allaire permet une approche complète et rigoureuse, sous des hypothèse beaucoup moins restrictives.
Nous prévoyons également de fournir aux étudiants quelques éléments sur la Gamma convergence qui sont liés au sujet.
En plus de cette étude théorique, nous étudierons les aspects numériques de la méthode : l'analyse numérique d'une part de méthodes d'homogénéisation numérique et la mise en pratique de ces méthodes. Des séances de travaux pratiques sont prévues.
Professeurs chargés de ce cours
Francois Alouges
Sonia Fliss
Documents
Analyse variationnelle des EDPs (Francois Alouges)
La méthode des EF (Sonia Fliss)
Introduction to periodic homogenization (Francois Alouges)
Programmation du cours
Les cours ont lieu à l’ENSTA Paris, salle 1314 ( les informations pour s’y rendre sont ici)
Jeudi 21 Septembre 2023 9h-12h15 Rappels sur l’analyse variationnelle et l’approximation par EF de quelques problèmes elliptiques
Jeudi 28 Septembre 2023 9h-12h15 Homogénéisation de problèmes unidimensionnels.
Jeudi 05 Octobre 2023 9h-12h15
Développement multi-échelle
Jeudi 12 octobre 9h-12h15 Convergence double échelle
Jeudi 12 octobre 2023 14h-17h15 TP - Partie 1 : Résolution numérique de problèmes elliptiques avec diverses conditions aux limites Sources matlab du TP Enoncé du TP
Jeudi 19 octobre 2023 9h-12h15 Estimation d’erreur de convergence
Jeudi 26 octobre 9h-12h15 TP - Partie 2 : Homogénéisation et mise en oeuvre
Compte rendu du TP pour le 30 novembre
Jeudi 09 Novembre 9h-12h15 Gamma convergence
Jeudi 16 novembre 9h-12h15 Homogénéisation d'une équation de réaction-diffusion (basé sur l'examen 2022)
Jeudi 23 novembre 9h-12h Examen