AMS303 -  Méthodes variationnelles pour l'analyse de problèmes non coercifs  [2020/2021]

Organisation



Déroulement du cours

Cours n°1 (les numéros de page se réfèrent à [1])
    Modèles (pp. 1-4) et formulaire (Annexe A) ;

    Espaces fonctionnels et distributions (pp. 14-23) ;
    Théorèmes de trace et formules d'intégration par parties généralisées (pp. 24-30) ;
    Formulation variationnelle équivalente : exemple du problème de Neumann (pp. 43-44).
    Notes de cours n°1.

Intermède
: Revoir les rappels sur les espaces de Banach et de Hilbert (pp. 10-14).

Cours n°2 et 3 (les numéros de page se réfèrent à [1])
    Diffusion neutronique ;
    Formulations variationnelles abstraites :
       théorème de Lax-Milgram (p. 59),
       théorème de Banach-Necas-Babuska (p. 65, p. 67) ;
    Formulation à une ou deux inconnues pour la diffusion.
    Notes de cours n°2.

    Discrétisation par la méthode des éléments finis :
       formulation variationnelle discrète,
       lemme de Céa,
       propriété d'approximabilité,
       convergence ;
    Application à la diffusion neutronique :
       formulation à une inconnue et éléments finis de Lagrange,
       formulation à deux inconnues et éléments finis de Raviart-Thomas [2, §2].
    Notes de cours n°3.

Cours n°4 (les numéros de page se réfèrent à [1])
    Problème de Helmholtz (pp. 54-57) ;  

    Alternative de Fredholm abstraite (pp. 67-69) ;
    Notes de cours n°4 ;
    Exercice Helmholtz.

Cours n°5
    Problème de Stokes (problème avec contrainte) ;  

    Formulation variationnelle avec pénalisation de la contrainte ;
    Formulation variationnelle incluant la contrainte ;
    Formulation variationnelle mixte "classique".

    Notes de cours n°5.

Cours n°6
    Quelques éléments de la physique des matériaux électromagnétiques à constantes négatives : Modèle de Drude-Lorentz, Plasmons de surface

    Problème avec changement de signe en 1D : exercice et corrigé

 

Cours n°7
    Quelques éléments de la physique des matériaux électromagnétiques à constantes négatives (suite) : la réfaction négative

    Problème avec changement de signe en 1D (suite et fin) : exercice et corrigé

    Problèmes de transmission avec changement de signe en 2D : T-coercivité pour les contrastes petits ou grands

 

Cours n°8

    Problèmes de transmission avec changement de signe en 2D : suite

            Le cas du domaine symétrique

            Le cas des domaines à coins

            Notes manuscrites

    Quelques liens utiles : un exposé, un article sur la théorie, un article sur le numérique

 

 Cours n°9
    Synthèse et compléments :
        formulations variationnelles abstraites,
        formulations variationnelles discrétisées,
        application au problème avec changement de signe.
    Notes de cours n°9.

Références bibliographiques

[1] P. Ciarlet, E. Lunéville, "AMS303 : outils mathématiques" (2020) [lien vers version PDF]

[2] D. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin, "Mixed finite element methods and applications", Springer (2013)

[3] V. Girault, P.-A. Raviart, "Finite elements methods for Navier-Stokes equations, Springer (1986)