Les billards de Bianchi

Dans un univers homogène et isotrope les trois dimensions de l'espace possèdent une dynamique indépendante et fonction de la quatrième dimension de notre univers, le temps.
Il existe 11 familles distinctes d'Univers homogènes et anisotropes : les 11 Univers de Bianchi. Dans ce type d'Univers les 3 dimensions spatiales sont dilatées dans le temps par 3 facteurs d'échelles indépendants.
Dans la représentation de Misner (voir) on peut associer ces trois facteurs d'échelles au 3 composantes d'une bille évoluant dans un billard à bande mobile. Loin de la bande, cette bille se propage en ligne droite : l'univers est dans un état dit de Kasner dans lequel deux de ses directions sont en expansion et la dernière en contraction. En se rapprochant de la bande la bille finit par rebondir sur celle-ci pour passer dans un nouvel état de propagation en ligne droite dans une autre direction : un nouvel état de Kasner.
On comprend bien que suivant la forme des bandes et sa vitesse initiale, la bille rebondit un nombre fini ou infini de fois. La forme de ces bandes est uniquement définie par la famille d'Univers considéré de Bianchi 1, sans bande, à Bianchi 9 aux bandes hyperboliques. Nous illustrons ci-dessous l'évolution de cette bille-univers dans trois cas génériques que sont Bianchi 2, Bianchi 7 et Bianchi 9.