AMS308 - Modèles mathématiques et leur discrétisation en
électromagnétisme [2019/2020]
Organisation
Déroulement du cours
- Cours n°1 (Les paragraphes § se réfèrent à la
monographie de F. Assous, P. Ciarlet et S. Labrunie)
Partie 1 - Equations de Maxwell :
Equations sous forme
intégrale §1.1.1 (p. 3) ;
Reformulation des équations
§1.1.2 (pp. 4-5) ;
Partie 2 - Outils mathématiques :
Espaces fonctionnels,
distributions, domaine de calcul §2.1 (pp. 69-73 + pp. 75-77) ;
Frontière, trace § 2.1 (pp.
82-84) ;
Espaces fonctionnels à
valeurs vectorielles §2.2.1 (pp. 86-88) ;
Trace normale et intégration
par parties §2.2.2 (pp. 91-94) + Eq. (2.25).
- Cours n°2 (Les paragraphes § se réfèrent à la
monographie de F. Assous, P. Ciarlet et S. Labrunie)
Partie 1 - Outils mathématiques :
Trace tangentielle et
intégration par parties §2.2.2 (pp. 91-94) + Eq. (2.27)
;
Trace des composantes
tangentielles et gradient tangentiel §3.1 (pp. 101-104) ;
Partie 2 - Potentiels des champs :
Domaines et existence de
potentiels scalaires §3.2 (pp. 110-113) ;
Existence de potentiels
vecteurs §3.4 (pp. 121-122).
- Cours n°3 (Les paragraphes § se réfèrent à la
monographie de F. Assous, P. Ciarlet et S. Labrunie)
Partie 1 - Equations de Maxwell :
Relations constitutives §1.1.3 (pp. 5-8), reformulation via les
potentiels §1.1.5 (pp. 11-13), milieux conducteurs et isolants §1.1.6
(pp. 13-14) ;
Conditions d'interface et
conditions aux limites §1.6 (pp. 49-54), énergie électromagnétique §1.7
(pp. 65-70) ;
Partie 2 - Problèmes statiques :
Problèmes statiques §1.4.1 (pp. 35-36) ;
Rappel sur les domaines §3.2 ( pp. 110-112) ;
Problème électrostatique et matrice de capacitance (pp. 115-116).
- Cours n°4 (Les paragraphes § se réfèrent à la
monographie de F. Assous, P. Ciarlet et S. Labrunie)
Partie 1 - Résolution du problème électrostatique :
Inégalité de Weber, Thm 3.4.3 (pp. 123-124) ;
Problème électrostatique §6.1 (pp. 210-218) ;
Partie 2 - Régularité du champ électrique :
Thm 3.3.15 (p. 120) et décomposition régulière-gradient §6.1.6 (pp. 219-223) ;
Discussion sur la discrétisation du problème électrostatique.
- Cours n°8 (Les paragraphes § se réfèrent à la
monographie de F. Assous, P. Ciarlet et S. Labrunie)
Partie 1 - Equations de Maxwell instationnaires :
Existence et unicité §5.2.1 (pp. 207-210) ;
Passage au second ordre en
temps §7.1 (pp. 267-273), existence et unicité §7.2.1 (pp. 275-282) ;
Discrétisation, voir article.
Partie 2 - Equations de Maxwell harmoniques :
Existence et unicité §8.3 (pp. 322-328) ;
Discrétisation, voir article.
Devoirs à la maison (les copies doivent être manuscrites ; binôme possible)
- DM n°1 (à rendre le 18/12)
Q1 - Etablir les relations de saut pour le champ électrique E et le champ magnétique H.
Q2 - Pourquoi la norme H1/2(∂Ω) est-elle bien une norme ?
- DM n°2 (à rendre le 08/01)
Q1 - Discuter la notion d'épaisseur de peau.
Q2 - Soit Ω" l'adhérence de Ω dans R3. Prouver la densité de C∞(Ω") dans H1(Ω), et la densité de C∞(Ω") dans H(div,Ω).
- DM n°3 (à rendre le 05/02)
Q1 - Construire l'élément fini "naturel" dans H(div,Ω) (justifier chaque étape de construction).
Q2(i) - Résoudre le problème
- Trouver B dans L2(Ω) tel que
- rot B = j dans Ω
- div B = 0 dans Ω
- B.n = 0 sur ∂Ω
- < B.n , 1 >Σi = 0 pour 1 ≤ i ≤ I
avec la donnée j dans H(div,Ω), div j = 0 dans Ω, < j.n , 1 >Γk = 0 pour 0 ≤ k ≤ K
Indication : on pourra introduire un potentiel vecteur A bien choisi tel que B = rot A dans Ω.
Q2(ii) - Quelle méthode de discrétisation utiliser pour la résolution numérique du problème en B ?
Référence bibliographique